LOS HOMBRECITOS DE LAS REGLAS DE CÁLCULO ACABARÁN POR HEREDAR EL MUNDO
"El vuelo del Fénix" (1965, Robert Aldrich)

LOS LOGARITMOS            



En 1614 el matemático escocés John Napier, barón de Merchiston (1550-1617) dió a conocer los logaritmos hiperbólicos o naturales, llamados desde entonces logaritmos neperianos, en una obra titulada Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, o "Descripción de una admirable tabla de logaritmos" donde, aparte de publicar la primera tabla de loragitmos, describe cómo utilizar los logaritmos para resolver problemas con triángulos.



John Napier, nacido en Edimburgo el 1 de febrero de 1550 y muerto también en Edimburgo el 4 de abril de 1617. Aparte de su trabajo sobre los logaritmos, tambiés es conocido haber popularizado el uso del punto decimal en las operaciones aritméticas.

1. Logaritmo de un número.- Cuando se conoce una potencia y la base de la misma, es posible hallar el exponente de esa potencia mediante una operación que se denomina logaritmación. Así, por ejemplo, si 2x = 16, sabemos que x = 4 porque 24 = 16; entonces decimos que "4 es el logaritmo de 16 en base 2". De modo análogo, si 5x = 125, sabemos que x = 3 y decimos que "3 es el logaritmo de 125 en base 5"; si 10x = 1.000.000, sabemos que x = 6 y decimos que "6 es el logaritmo de 1.000.000 en base 10".

2. Definición de logaritmo.- Se define logaritmo de un número en una base dada al exponente al cual debe elevarse la base para obtener el número dado. Al tratarse de una relación existente entre la base y la potencia, al exponente se le llamó logaritmo, término compuesto por la unión de las palabras griegas logos (razón, relación) y arithmós (número) y con el significado de número relativo.

En notación matemática, los ejemplos anteriores pueden escribirse así:

    log2 16 = 4; se lee "el logaritmo de 16 en base 2 es 4".

    log5 125 = 3; se lee "el logaritmo de 125 en base 5 es 3".

    log10 1.000.000; se lee "el logaritmo de 1.000.000 en base 10 es 6".

En general:

    si bx = a, entonces logb a = x.

3. Logaritmos neperianos o logaritmos naturales.- Son aquellos que tienen por base el número e, y fueron los primeros en ser utilizados gracias a su descubridor, John Napier. Su notación matemática emplea la abreviatura ln o L, sin escribir el número e como base, es decir: no se escribe log e x, sino ln x o L x. De esta forma, el logaritmo neperiano o natural de un número x se define como la potencia a la que se debe elevar el número e para obtener el citado x.

4. Logaritmos decimales.- Son aquellos que tiene como base el número 10. En su notación matemática se emplea la abreviatura log; con objeto de simplificar la escritura de los logaritmos decimales, en su momento se adoptó la convención de omitir la base 10 en su notación matemática, por lo que, en lugar de escribir log10 a se escribe log a. De esta manera, el logaritmo decimal de un número x se defime como la potencia a la que hay que elevar 10 para obtener el citado número x.

5. Característica de un número.- El número resultante de la operación logarítmica es un número decimal; su parte entera se llama característica y su parte decimal se llama mantisa. Así, por ejemplo, en log 273 = 2,4361626, la característica 2 y la mantisa es 0,4361626.

Podemos decir que la característica de un número dado es la potencia de 10 más baja de entre las dos en que se haya comprendido. En el ejemplo anterior, 273 está comprendido entre dos potencias de 10, que son 2 y 3, puesto que 102 = 100 y 103 = 1000; en este caso, la potencia más baja es 2, por lo que podemos decir, sin hacer ningún cálculo, que la característica de 273 es 2.

Análogamente, la característica de log 8 es 0, puesto que 8 se haya comprendido entre 1 y 10, siendo 0 y 1 los exponentes a los que hay que elevar 10 para hallar 0 y 10. De igual modo, la característica de log 0,024 es -2, porque 0,024 está comprendido entre 0,01 y 0,001, siendo -2 y -3 los exponentes de 10 para hallar estos números.

En definitiva, la determinación de la característica de un número se halla mediante la aplicación de las siguientes reglas:

    1. La característica de un número entero o decimal con parte entera distinta de cero es nula o positiva, y consta de tantas unidades como cifras enteras tiene el número menos uno.

    2. La caracterítica de un número decimal con parte entera igual a cero es negativa, y consta de tantas unidades como ceros tenga el número antes de su primera cifra decimal significativa, contando el cero de la parte entera.

Ejemplos:

    La característica de 273 es 2 porque 273 tiene tres cifras enteras.

    La caracteristica de 8,27 es 1 porque 8,27 tiene una cifra entera.

    La característica de 0,0083 es -3 porque 0,0084 tiene tres ceros antes del 8.

Recíprocamente, dada la característica de un número, resulta que:

  • si es positiva o nula, el número tiene parte entera distinta de cero y consta de tantas cifras enteras como unidades tiene la característica, más una.
  • si es negativa, el número es decimal com parte entera igual a cero y tiene tantos ceros delante de su primera cifra significativa como unidades tiene la característica, incluyendo el cero del entero.

Ejemplos:

    Si las cifras de un número son 234 y su característica es 1, el número es 23,4.

    Si las cifras de un número son 1175 y su característica es 0, el número es 1,175.

    Si las cifras de un número son 85 y su característica es 3, el número es 8500.

    Si las cifras de un número son 655 y su característica es 5, el número es 655000.

    Si las cifras de un número son 417 y su característica es -1, el número es 0,417.

    Si las cifras de un número son 17 y su característica es -4, el número es 0,00017.

La determinación de la característica de un número es esencial para la identificación del lugar de la coma decimal en el resultado obtenido en cálculo de productos y cocientes mediante la regla de cálculo.

6. Mantisa de un logaritmo. La mantisa de un logaritmo es la parte decimal del mismo, que permanece invariable aunque al número se le multiplique o divida por una unidad seguida de ceros mantisas se hallan con las tablas de logaritmos o con la regla de cálculo, según aprenderemos más adelante.

Las propiedad de que la mantisa permanece invariable independientemente de su el número se le multiplica o divide por la unidad seguida de ceros es la base del funcionamiento de la regla de cálculo, pues en ella se manejan sólo las cifras significativas de los números, y se obtienen cifras sin determinar la posición de la coma decimal, de forma que el valor final ha de hallarse mediante el cálculo de las características de los factores de la operación.

7. Propiedades de los logaritmos.-

    1.- El logaritmo de 1 es 0.

      ln 1 = 0
      log 1 = 0

    2.- El logaritmo de la base es 1.

      ln e = 1
      log 10 = 1

    3.- El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores.

      ln (a.b.c) = ln a + ln b + ln c
      log (a.b.c) = log a + log b + log c

    4.- El logaritmo de un cociente es la resta o diferencia del logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor.

      ln (a:b) = ln a - ln b
      log (a:b) = log a - log b

    5.- El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

      ln an = n.ln a
      log an = n.log a

    6.- El logaritmo de una raiz cuadrada es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raiz.

      ln (raiz n de a) = (ln a):n
      log (raiz n de a) = (log a):n

    7.- La mantisa del logaritmo decimal de un número no se altera si el número se multiplica o divide por la unidad seguida de ceros.

      mantisa log a = mantisa log (a.10n) = mantisa log (a:10m)

      Ejemplo:

      log 273 = 2,4361626;

      log 273.000 = 5,4361626;

      log 0,00273 = -3,4361626

    8.- Los números negativos carecen de logaritmos, razón por la cual cuando hablemos de logaritmos nos referiremos siempre a números positivos.

Estas propiedades muestran la gran importancia práctica de los logarimos, pues gracias a ellos el grado de complejidad de las operaciones se reduce considerablemente al transformar un producto en una suma, una división en una resta, una potencia en un producto y una raiz en un cociente. Lo único que hace falta son una tablas de logaritmos o una regla de cálculo.