LOS HOMBRECITOS DE LAS REGLAS DE CÁLCULO ACABARÁN POR HEREDAR EL MUNDO
"El vuelo del Fénix" (1965, Robert Aldrich)

LA INVENCIÓN DE LA REGLA DE CÁLCULO            



La escala de Gunter (1620)

Seis años después de que John Napier diese a conocer los logaritmos en 1614, el clérigo y matemático ingles Edmund Gunter (1581-1626) tuvo la idea en 1620 de representar sobre una recta los logaritmos de los números del 1 al 10, procediendo de la siguiente manera:

  • Tomó como unidad la longitud de un segmento cualquiera de la regla.

  • Marcó sobre el segmento las longitudes de los logaritmos de los números del 1 al 10, medidos desde el extremo izquierdo del segmento, tomados con respecto a la longitud del segmento unidad. De esta forma, si el segmento tomado como unidad mide 13 cm (que es una medida normal en las reglas de cálculo de bolsillo):

    • El logaritmo de 1 es 0, por lo que la marca del número 1 es el propio extremo izquierdo del segmento.
    • El logaritmo de 2 es 0,3010; la marca del número 2 hay que hacerla a 0,3010 x 13 = 3,913 cms. del extremo izquierdo.
    • El logaritmo de 3 es 0,4771; la marca del número 3 hay que hacerla a 0,4771 x 13 = 6,202 cms.
    • El logaritmo de 4 es 0,6021; la marca del número 4 hay que hacerla a 0,6021 x 13 = 7,827 cms.
    • El logaritmo de 5 es 0,6990; la marca del número 5 hay que hacerla a 0,6990 x 13 = 9,087 cms.
    • El logaritmo de 6 es 0,7782; la marca del número 6 hay que hacerla a 0,7782 x 13 = 10,117 cms.
    • El logaritmo de 7 es 0,8451; la marca del número 7 hay que hacerla a 0,8451 x 13 = 10,986 cms.
    • El logaritmo de 8 es 0,9031; la marca del número 8 hay que hacerla a 0,9031 x 13 = 11,740 cms.
    • El logaritmo de 9 es 0,9542; la marca del número 9 hay que hacerla a 0,9542 x 13 = 12,405 cms.
    • El logaritmo de 10 es 1; la marca del número 10 es el propio extremo derecho del segmento.

  • Finalmente, anotó sobre los puntos así obtenidos los números del 1 al 10.

El segmento obtenido, llamado escala de Gunter, está dividido en diez partes desiguales, o divisiones primarias, numeradas del 1 al 10, y cada una de ellas en otras tantas diez partes desiguales, o segmentos secundarios.



Escala de Gunter.

La foto de debajo corresponde a una regla de cálculo de bolsillo de 13 cms de longitud a la que hemos quitado la reglilla deslizante central. En la foto podemos distinguir la escala D en la parte inferior de la regla, que representa los logaritmos de los números del 1 al 10 tal y como lo hizo Edmund Gunter, así como los logaritmos de los números intermedios.



Escala D de una regla de cálculo de bolsillo de 13 centímetros.
Obsérvense los números del 1 al 10 grabados a distancias logarítmicas desde el extremo izquierdo de la escala D. Entre el 1 y el 2 hay diez divisiones secundarias divididas a su vez en cinco partes; las divisiones secundarias entre el 2 y el 5 están divididas en dos partes; las divisiones secundarias entre el 5 y el 10 no están divididas.

Como puede observarse en la foto de arriba, los intervalos entre dos divisiones primarias o secundarias consecutivas van disminuyendo en longitud de izquierda a derecha, razón por la cual los nuevos intervalos producidos por las divisiones secundarias sólo están divididos en cinco partes entre el 1 y el 2; en dos partes entre el 2 y 5; y no tienen subdivisiones entre el 5 y el 10, porque el ojo humano no percibe bien separaciones nemores de 1 milímetro. En reglas de cálculo de 25 cms (ver foto de debajo), 50 cms y 1 metro, usadas preferentemente por técnicos y profesionales, los intervalos mínimos son más numerosos por existir mayor espacio físico para ellos.



Escala D de una regla de cálculo Nestler nº 238 de 25 centímetros.
Obsérvense los números del 1 al 10 grabados a distancias logarítmicas desde el extremo izquierdo de la escala D. Entre el 1 y el 2 hay diez divisiones secundarias divididas a su vez en diez partes; las divisiones secundarias entre el 2 y el 4 están divididas en cinco partes; las divisiones secundarias entre el 4 y el 10 están divididas en dos partes.

La idea del profesor Gunter fue la de obtener el producto de dos números sumando sus logaritmos en la regla construida por él: mediante un compás medía la longitud del segmento del logaritmo del multiplicando y colocaba el compás al final de la medida del logaritmo del multiplicador; la longitud total obtenida es el logaritmo del producto.

La invención de la regla de cálculo (1630-1657)

Diez años más tarde, en 1630, el reverendo anglicano William Oughtred (1574-1660) perfeccionó el procedimiento anterior construyendo dos escalas iguales y haciéndolas deslizar una sobre otra; de esta manera simplificó el proceso de cálculo al eliminar el empleo del compás.

Por último, Robert Bissaker en 1654 y Seth Patridge en 1657 propusieron añadir a la regla un cursor móvil con una raya vertical que sirviera para fijar la posición de cualquier número sobre una de las dos escalas. Sin embargo el cursor no fue parte de la regla hasta 1850, fecha en que el artillero francés Amédee Mannheim introdujo el cursor en su modelo de regla de cálculo. Este modelo se hizo tremendamente popular, fue adoptado por el ejército francés y comenzó a fabricarse en 1859.

La foto de debajo corresponde a una regla de cálculo de bolsillo de 13 centímetros. En ellas podemos apreciar los tres elementos constitutivos de las reglas actualmente:

  • Regla fija, que es la parte principal de la regla y está provista de una ranura interior.

  • Regleta móvil, que es la parte interior que se desliza dentro de la regla fija.

  • Cursor, que es el dispositivo provisto de un vidrio o plástico transparente que lleva una raya vertical grabada en su mitad, y que se desliza sobre los bordes externos de la regla fija.




Regla de cálculo de bolsillo de 13 centímetros. Podemos apreciar sus partes constitutivas: la regla fija, la reglilla y el cursor.

El sistema Mannhein (1850)

Aunque las reglas de cálculo ya existían antes del tiempo de Mannheim, fue él quien estandarizó la versión moderna de la regla de cálculo hasta la aparición de la calculadora de bolsillo. Alrededor de 1850, mientras era estudiante en Metz, Mannheim tuvo la idea de mejorar las reglas de cálculo. Sus componentes se describen en un libro del siglo XIX escrito por W. M. Cox, en una época en que la versión de Mannheim de la regla de cálculo estaba siendo exportada de Francia al resto del mundo:

    "La regla de cálculo, tal y como ha sido recientemente perfeccionada por Mannheim, oficial de Artillería en Metz, está construida generalmente de madera, de 10 pulgadas de largo, pulgada y media de ancho y un cuarto o tres octavos de pulgada de grosor. A lo largo del centro y sobre una ranura longitudinal hay una reglilla, confeccionada del mismo material, que discurre fácilmente de izquierda a derecvha y de derecha a izquierda, colocada de forma que está perfectamente ajustada en la ranura, con su superficie perfectamente nivelada con la del resto de la regla. Esta es la reglilla. Sobre la regla se ven, a lo largo de toda su longitud, y cerca del borde superior de la ranura, una serie de graduaciones con identicas a las graduaciones del borde superior de la reglilla; esto forma las escalas superiores. Otra serie de graduaciones pueden verse sobre la regla a lo largo del borde inferior de la ranura, que se corresponden con otra serie de graduaciones iguales en el borde inferior de la reglilla; estas son las escalas inferiores. Cada instrumento posee un cursor de latón o vidrio, que permite coincidir los puntos que deben leerse en las diferentes escalas, lo que también permite cálculos más elaborados sin necesidad de "leer" los resultados intermedios, asegurando de este modo un mayor grado de exactitud en el resultado final. Esya es la Regla de Cálculo de Mannheim. Su éxito descansa principalmente en la abilidad de leer las graduaciones de forma rápida y correcta."

El cursor de cristal que describe Cox y la estandarización de las escalas fueron las inteligentes ideas de Mannheim, dando lugar con ello al denominado sistema Manheim, que constaba de cuatro escalas: A y D montadas en la regla fija; B y C montadas en el anverso de la regleta móvil:

  • Escala A, o escala de cuadrados (valor de x2); consiste en una escala logarítmica de dos decenas: la primera del 1 al 10, la segunda del 10 al 100. Se situa en el borde inferior de la parte superior de la regla fija.

  • Escala B, igual que la anterior A, situada en el borde superior de la regleta móvil.

  • Escala C, o escala básica (valor de x); consiste en una escala logarítmica de una decena; se situa en el borde inferior de la regleta móvil.

  • Escala D, igual que la anterior C, situada en el borde superior de la parte inferior de la regleta fija.




Regla de cálculo del sistema Mannheim: regla de bolsillo japonesa Hemmi de bambú modelo SUN 34T, de 14 centímetros. Podemos apreciar las escalas A, B, C y D. En la parte trasera de la regleta móvil lleva las escalas S, L y T.

El sistema Rietz (1902)

El ingeniero alemán Max Rietz unificó las nuevas escalas que iban apareciendo en el mercado con un sistema que tomó su nombre y que fue adoptado por los fabricantes, añadiendo seis escalas más al sistema Mannheim. El resultado fue una regla de cálculo con diez escalas: escalas K y A en la parte superior de la regla fija; escalas D y L en la parte inferior de la regla fija; escalas B, CI y C en el anverso de la regleta móvil; escalas S, ST y T en el dorso de la regleta móvil. Las nuevas escalas añadidas son las siguientes:

  • Escala K, o escala de cubos (valor de x3); consiste en una escala logarítima de tres decenas: del 1 al 10, del 10 al 100, del 100 al 1000.

  • Escala CI, o escala básica C invertida (valos de 1/x).

  • Escala L, o escala de logarítmos (valor de log x); es una escala lineal del 0,01 al 1 utilizada para obtener las mantisas de los logaritmos decimales.

  • Escala S, o escala de senos de ángulos (valor de sen x).

  • Escala ST, o escala de senos y tangentes de ángulos pequeños (0,58º a 5,73º), además de conversiones grado-radian.

  • Escala T, o escala de tangentes de ángulos (valor de tg x).




Regla de cálculo del sistema Reitz: regla de Fabel Castell de caoba bambú 57/87, de 27 centímetros. Podemos apreciar las escalas K, A, B, CI, C, D y L en el anverso; las escalas s, ST y T se hallan en el dorso de la regleta móvil.

El sistema Darmstadt (1902)

El matemático e ingeniero alemán Alwin Oswald Walther (1898-1967) propuso incluir escalas logarítmicas dobles que permitieran operaciones con exponentes en el sistema Reitz, dando con ello origen a las reglas de cálculo del sistem Darmstatd, nombre escogido por ser la ciudad donde trabajaba y murió:

  • Escala LLn, o conjunto de escalas doblemente logarítmicas (valor de nn); permite operaciones con exponentes. Puede tener cualquier base, aunque normalmente se emplea en número e y su resultado es absoluto, es decir, que no require estimar la posición del punto decimal.




Regla de cálculo del sistema Darmstadt: regla de Grapholex nº 640, de 27 centímetros. Podemos apreciar las escalas K, A, B, CI, C, D, LL3, LL2 y LL1 en el anverso; las escalas s, ST y T se hallan en el dorso de la regleta móvil.