LOS HOMBRECITOS DE LAS REGLAS DE CÁLCULO ACABARÁN POR HEREDAR EL MUNDO
"El vuelo del Fénix" (1965, Robert Aldrich)

LA REGLA DE CÁLCULO. EXACTITUD.            



EXACTITUD DE LA REGLA DE CÁLCULO. CIFRAS SIGNIFICATIVAS.

Traducido de: Cullimore, Allan R. "The Use of the Slide Rule". Keuffel & Esser Co. 1915, New York.

Para realizar un manejo apropiado y eficaz de la regla de cálculo, el usuario ha de tener una idea clara de las condiciones bajo las cuales puede emplear la regla con ventaja. Incluso entre los ingenieros está extendida la idea de que la regla es inexacta, ya que, en las manos de un usuario razonablemente experto, la regla tan solo ofrece una exactitud del 0,1 %. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que la regla de cálculo es tan inexacta como inexacta es la cuarta cifra decimal de una tabla de logaritmos.

En realidad, existe una gran cantidad de cálculos de ingeniería cuyos resultados entran dentro de los errores tolerables manejados por la regla de cálculo. La pregunta más frecuente es saber si la regla de cálculo es aceptable o no para resolver un problema dado. La respuesta requiere un conocimiento de las cifras significativas y un examen de los datos del problema, junto con el conocimiento de los medios empleados en la obtención de estos datos.

Por cifra significativa entendemos cualquier cifra que da información real en relación a la cantidad que representa. De esta manera:

  • 18700,1 tiene seis cifras significativas.
  • 13,7303 tiene seis cifras significativas.
  • 0,0032 tiene dos cifras significativas.
  • 13000 tiene dos o cinco cifras significativas.

Se hace notar que en el último caso existe una ambigüedad ya que, ante la falta de signos de puntuación de miles o comas, cualquiera o todos los ceros poder ser o no ser significativos.

Tomemos el problema de encontrar el área de un círculo cuyo radio es de 4,67 metros, medidos con una cinta métrica de metal. Es fácilmente entendible que la persona encargada de la medición ha sido incapaz de discernir una distancia inferior a una centésima de metro. Es decir, que está seguro de que la distancia estaba más cerca de 4,67 que de 4,66 ó 4,68. Por tanto, él registró el resultado de 4,67 metros, usando para ello tres cifras significativas con una exactitud de uno entre 467, es decir, del 0,2% aproximadamente. Téngase en cuenta que el número de cifras significativas expresa exactitud, mientras que el número de decimales indica posibilidad o no posibilidad. Por ejemplo, 761 milímetros es idéntico que 0,761 metros, donde el lugar decimal no nos indica nada.

El ingeniero que registra datos debe esforzarse en expresar la exactitud de un resultado indicando el número de cifras significativas del mismo. El hábito de expresar resultados con un número de cifras significativas más numeroso de las que el dato necesita lleva al peligro de despreciarlas, y crea la falsa impresión de una exactitud en el resultado. Ciertas constantes matemáticas pueden, no obstante, ser expresadas con un número cualquiera de cifras significativas. Por ejemplo, el número "pi" puede ser expresado como 3,142 o como 3,141592654. Por otro lado, ciertas constantes físicas son muy inciertas, incluso en tercer lugar. Tomemos, por ejemplo, el peso de un metro cúbico de agua, que normalmente se dice que es de 1.000 kilos; las condiciones de temperatura pueden alterar la tercera cifra significativa. Sin embargo, con datos bien identificados el número de cifras significativas y su carácter nos dan información muy definida. Si decimos que la luz viaja a 300.000 kilómetros por segundo, no estamos diciendo que recorre 300.000 kilómetros exactos, medidos al milímetros, en exactamente un segundo de tiempo, sino que la distancia recorrida está más cerca de 300.000 kilómetros que de 299.000 ó 301.000 kilómetros, y que la exactitud de 1/300 se expresa por tres cifras significativas. En este caso particular, los tres ceros de la derecha podrían ser o no ser cifras significativas; para impedir esta ambigüedad se sugiere expresar los resultados similares a éste con la notación 300 x 103, con lo cual se elimina la ambigüedad.

Si, por lo tanto, la regla de cálculo nos ofrece resultados con un error del 0,1%, o del uno por mil, podremos emplear la regla en aquellos casos en los que se requieran tan solo tres cifras significativas en el resultado. Un tal Hollman formuló la siguiente regla, que debe seguirse al pie de la letra: "En multiplicaciones y divisiones, el porcentaje de error de uno de ellos producirá el mismo porcentaje de error en el resultado." Esto nos permite decir que en todos los problemas pueden ser resueltos ventajosamente mediante reglas de cálculo, empleando solo datos correctos hasta de tres cifras significativas. El resultado no solo es suficientemente cercano al exacto, sino que es tan exacto como se necesita. Por supuesto, en aquellos casos en los que se emplea la regla de cálculo de forma más o menos aproximada en cálculos logarítmicos u otros, este aspecto de la exactitud no cuenta. Ilustremos lo dicho hasta ahora con un ejemplo.

Supongamos que queremos calcular el volumen de un cubo de tierra. Consideremos que las dimensiones horizontales han sido medidos con una cinta de exactitud de un centímetros, y las verticales con un nivel de exactitud un decímetro, y que las dimensiones medidas son las siguientes:

  • Longitud: 101,13 metros.
  • Anchura: 7,34 metros.
  • Altura: 9,3 metros.

Si hacemos las multiplicaciones a mano, obtenemos los siguientes resultados:

  • 101,13 x 7,34 = 742,2942 m2.
  • 742,2942 x 9,3 = 6.903,33606 m3.

Si indicamos la respuesta como 6.903,33606 m3, estamos diciendo que conocemos el volumen con un error de una cienmilésima (1/100.000) de metro cúbico, o del 1/7.000.000 %, lo cual es, obviamente, ridículo. Supongamos que la altura es una cifra comprendida entre 9,25 y 9,34 metros; en tal caso el medidor daría como buena la cifra de 9,3. Sin embargo, sabemos que, multiplicando, el resultado correcto del volumen se encuentra entre los dos siguientes:

  • 742,2942 x 9,25 = 6.866,22135 m3.
  • 742,2942 x 9,34 = 6.933,027828 m3.

Si comparamos los tres resultados obtenidos, concluimos que las siete cifras significativas de la derecha no nos dicen nada, y que solo las dos primeras nos dicen algo, por lo que el resultado debe ser expresado como 6.900 m3. A la luz de esto, haremos las multiplicaciones como sigue:

  • 101,13 x 7,34 = 742
  • 742 x 9,3 = 6.900 m3.

Y ofrecemos el resultado de 6.900 m3, que es tan cercano al valor real como podemos saber dados los valores medidos.

Se comprende, por tanto, que el conocimiento apropiado de los números significativos en un problema dado ahorra mucho tiempo en el cálculo. No importa el procedimiento empleado en el cálculo: multiplicación a mano, con calculadora, logaritmos o regla de cálculo. El usuario debe acostumbrarse primero a examinar los datos del problema, calcular mentalmente la exactitud deseada del resultado. Y el valor numérico aproximado del resultado.