LOS HOMBRECITOS DE LAS REGLAS DE CÁLCULO ACABARÁN POR HEREDAR EL MUNDO
"El vuelo del Fénix" (1965, Robert Aldrich)

LAS ESCALAS C Y D. Multiplicación y división.            



LAS ESCALAS C y D. Multiplicación y división.

A estas alturas cualquiera que visite este sitio web se habrá dado cuenta que las reglas de cálculo tienen varias escalas, entre ellas las marcadas con las letras C y D. La escala D está situada en el borde superior de la parte inferior de la regla fija; la escala C se encuentra en el borde inferior de la regleta móvil, deslizándose inmediatamente encima de la escala D. Ambas escalas tienen idénticas divisiones y, en realidad, se comportan como si fueran una única escala que haya sido cortada en sentido longitudinal. Su empleo conjunto permite realizar multiplicaciones y divisiones.

Las escalas C y D forman un segmento decimal del 1 al 10 dividido en diez partes correspondientes a los diez números, cada una de ellas subdividido a su vez en varias partes en función del tamaño de la regla:

Reglas de bolsillo:

  • Entre el 1 y el 2: dividido en cinco partes.
  • Entre el 2 y el 5: dividido en dos partes.
  • Entre el 5 y el 10: sin divisiones.

Reglas profesionales:

  • Entre el 1 y el 2: dividido en diez partes, cada una de ellas marcada como 1.1, 1.2, 1.3 … 1.9.
  • Entre el 2 y el 4: dividido en cinco partes.
  • Entre el 4 y el 10: dividido en dos partes.




Compare el lector las divisiones y subdivisiones de las escalas C y D en una regla de cálculo profesional de 27 cm (Faber Castell nº 111/87) y otra de bolsillo de 13 cm (Ecobra nº R141).

Localización de un número en la escala.

Pedimos al lector que identifique en su regla de cálculo las diferentes marcas de las escalas C y D y que trate de localizar un número cualquiera en las escalas de forma rápida y segura. Para ello aplicaremos la propiedad número 7 de los logaritmos: “la mantisa del logaritmo decimal de un número no se altera si el número se multiplica o divide por la unidad seguida de ceros.” En efecto, para localizar un número solamente hay que tener en cuenta el número que se obtiene suprimiendo la coma decimal (si los tuviera), los ceros de la izquierda de la primera cifra significativa y los ceros a la derecha de la última cifra significativa.

Así, por ejemplo, los números 148; 14800; 1,48 y 0,00148 se localizan en el mismo lugar de la escala, considerando el 148 para cualquiera de ellos, porque los logaritmos de estos cuatro números tiene la misma mantisa, que es la que está representada gráficamente.



Tras haber alineado las escalas C y D una encima de la otra, hemos colocado el cursor en la posición correspondiente al número 148. Obsérvese la diferente precisión de las escalas de las reglas de bolsillo (Ecobra nº R141) y profesional (Faber Castell nº 111/87).

Ejercicio nº 1: localizar los siguientes números: 70, 48, 184, 135, 217, 425, 527, 860.


Número 70

 

Número 48

 

Número 184

 

Número 135

 

Número 217

 

Número 425


Número 527


Número 860


PRODUCTO DE DOS NÚMEROS.

Las escalas C y D se utilizan preferentemente para efectuar multiplicaciones y divisiones, siguiendo el procedimiento explicado de la Escala de Gunter: si en las escalas logarítmicas C y D el segmento (1-a) representa al número “a”, y el segmento (1-b) representa al número “b”, por aplicación de la propiedad número 1 de los logaritmos “El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores”, entonces el segmento [1-(a+b)] representa al número “a.b” Recordemos que el número así calculado corresponde al conjunto de números cuya mantisa no cambia si se multiplica el número por la unidad seguida de ceros; es por ello que la situación del punto decimal debe ser calculado mentalmente.

Ejemplo nº 1: Hallar el producto de 2x3.

  • Identificar el número 2 en la escala D y señalarlo con el cursor.
  • Llevar el origen de la escala C (señalado con el número 1) sobre el cursor.
  • Identificar el número 3 en la escala C y señalarlo con el cursor.
  • Leer el número que indica el cursor en la escala D: es el número 6.




Forma de calcular el producto de 2x3. Regla de cálculo Faber Castell nº 111/87.

Ejemplo nº 2: Hallar el producto de 4x5.

  • Identificar el número 4 en la escala D y señalarlo con el cursor.
  • Llevar el origen de la escala C (señalado con el número 1) sobre el cursor.
  • Identificar el número 5 en la escala C y señalarlo con el cursor. Vemos que no se puede, pues el número 5 de la escala C está fuera de la regla fija.
  • Llevar el extremo derecho de la escala C (señalado con el número 10) sobre el cursor.
  • Identificar el número 5 en la escala C y señalarlo con el cursor.
  • Leer el número que indica el cursor en la escala D: es el número 2.
  • Redondeo para colocar la coma decimal: en este caso no hay duda de que se trata del 20.




Forma de calcular el producto de 4x5. Regla de cálculo Faber Castell nº 111/87.

Ejemplo nº 3: Hallar el producto de 15,6 x 3,24.

  • Identificar el número 156 en la escala D y señalarlo con el cursor.
  • Llevar el origen de la escala C (señalado con el número 1) sobre el cursor.
  • Identificar el número 324 en la escala C y señalarlo con el cursor.
  • Leer el número que indica el cursor en la escala D: es el número 505.
  • Redondeo para colocar la coma decimal: sabemos que 15 x 3 son 45, por lo que el número que hemos de elegir como resultado del producto es el 50,5.
  • NOTA: rogamos al lector que compare el resultado de 50,5 obtenido por la regla de cálculo con el resultado de 50,544 obtenido por una calculadora electrónica.




Forma de calcular el producto de 15,6 x 3,24. Regla de cálculo Thornton nº P281 Standard.

Ejemplo nº 4: Hallar el producto de 4,55 x 6,15.

  • Identificar el número 455 en la escala D y señalarlo con el cursor.
  • Llevar el origen de la escala C (señalado con el número 1) sobre el cursor.
  • Identificar el número 615 en la escala C y señalarlo con el cursor. Vemos que no se puede, pues el número 615 de la escala C está fuera de la regla fija.
  • Llevar el extremo derecho de la escala C (señalado con el número 10) sobre el cursor.
  • Identificar el número 615 en la escala C y señalarlo con el cursor.
  • Leer el número que indica el cursor en la escala D: es el número 28.
  • Redondeo para colocar la coma decimal: sabemos que 4 x 6 son 24, por lo que el número que hemos de elegir como resultado del producto es el 28.
  • NOTA: rogamos al lector que compare el resultado de 28,15 obtenido con la regla de cálculo con el resultado de 27,98 obtenido por una calculadora electrónica.




Forma de calcular el producto de 4,55 x 6,15. Regla de cálculo Thornton nº P281 Standard.

PRODUCTO DE VARIOS FACTORES.

Para hallar el producto de varios factores no hay que multiplicalos de dos en dos obteniendo resultados parciales, sino que debe multiplicarse los dos primeros y, usando el cursor, seguir con el resto de factores hasta el último.

Ejemplo nº 5: Calcular el peso de una placa de acero de 40,5 centímetros de largo por 28,7 centímetros de ancho y 0,626 centímetros de espesor, sabiendo que el peso del acero por unidad es de 0.26 kilos.

  • Se trata de multiplicar cuatro factores: 40,5 x 28,7 x 0,625 x 0,26.
  • Identificar el número primer número (405) en la escala D y señalarlo con el cursor.
  • Llevar el origen de la escala C (señalado con el número 1) sobre el cursor.
  • Identificar el segundo número (287) en la escala C y señalarlo con el cursor. Vemos que no se puede, pues el número 287 de la escala C está fuera de la regla fija.
  • Llevar el extremo derecho de la escala C (señalado con el número 10) sobre el cursor.
  • Identificar el número 287 en la escala C y señalarlo con el cursor.
  • Llevar el extremo izquierdo de la escala C (señalado con el número 1) sobre el cursor.
  • Identificar el tercer número (625) en la escala C y señalarlo con el cursor.
  • La experiencia nos dice que el número siguiente, el 26, no puede alcanzarse con el extremo izquierdo de la reglilla sobre el cursor, por lo que llevamos el extremo derecho de la escala C (señalado con el número 10) sobre el cursor.
  • Identificar el cuarto número (26) en la escala C y señalarlo con el cursor.
  • Leer el número que indica el cursor en la escala D: es el número 188.
  • Redondeo para colocar la coma decimal: sabemos que 40 x 30 (redondeo de 28,7) son 1200; dividido por la mitad (redondeo de 0,625) son 600; dividido por 4 (redondeo de 0,26) son 150, por lo que el número que hemos de elegir como resultado del producto es el 188.
  • NOTA: rogamos al lector que compare el resultado de 188 obtenido con la regla de cálculo con el resultado de 188,9 obtenido por una calculadora electrónica.

Notación práctica.

Para escribir de forma práctica y sencilla las operaciones a realizar con la regla de cálculo seguiremos el siguiente convencionalismo:

  • La lectura de un número n sobre la escala C se escribe nC.
  • La lectura de un número m sobre la escala D se escribe mD.
  • El extremo izquierdo de la regleta móvil de identifica como 1C.
  • El extremo derecho de la regleta móvil se identifica como 10C.
  • El cursor se identifica como X.

Siguiendo esta notación, el ejemplo nº 5 se expresa de la siguiente manera:

  • Colocar 10C sobre 405D.
  • Llevar X a 287C.
  • Llevar 1C a X.
  • Llevar X a 625C.
  • Llevar 10C a X.
  • Leer el resultado bajo 26C: 188D.

COCIENTE DE DOS NÚMEROS.

Las escalas C y D también se utilizan para hallar el cociente de dos números. Siguiendo el procedimiento explicado de la Escala de Gunter, si en las escalas logarítmicas C y D el segmento (1-a) representa al número “a”, y el segmento (1-b) representa al número “b”, por aplicación de la propiedad número 2 de los logaritmos "El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor.", entonces el segmento [1-(a-b)] representa al número “a:b”.

Ejemplo nº 1: Hallar el cociente de 6:3.

  • Identificar 6D.
  • X a 6D.
  • 3C a X.
  • Leer el resultado debajo de 1C: el número 2.




Forma de calcular el cociente de 6 : 3. Regla de cálculo de bolsillo Ecobra nº R141.

Ejemplo nº 2: Hallar el cociente de 50,5 : 3,24.

  • Identificar 505D.
  • X a 505D.
  • 324C a X.
  • Leer el número debajo de 1C: el número 1558.
  • Redondeo para colocar la coma decimal: sabemos que 50 : 3 son quince con algo, por lo que resultado es 15,58.
  • NOTA: rogamos al lector que compare el resultado de 15,58 obtenido con la regla de cálculo con el resultado de 15,586 obtenido con una calculadora electrónica.




Forma de calcular el cociente de 50,5 : 3,24. Regla de cálculo Grapholex nº 620 d.

MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES COMBINADAS.

Es frecuente enfrentarse a operaciones del tipo x=(a.b.c):(d.e.f). Al efectuar estas operaciones con una regla de cálculo se aprecia la economía de tiempo respecto al lápiz y papel: como en las multiplicaciones de más de dos factores, no es preciso leer los resultados de las sucesivas operaciones parciales que se van efectuando para obtener el resultado final.

No hay que multiplicar los números del numerador por un lado, los del denominador por otro y luego hacer la división. No. En su lugar, el procedimiento consiste en alternar las divisiones y las multiplicaciones de los números dados, avanzando de derecha a izquierda. En el ejemplo general anterior, se divide a por d (no se lee el resultado), se multiplica por b (no se lee el resultado), se divide por e (no se lee el resultado), se multiplica por c (no se lee el resultado) y, finalmente, se divide por f y se lee el resultado.

Ejemplo nº 1: Hallar el resultado de (36 x 0,44):17

  • Se trata de primero dividir 36 entre 17 y luego multiplicar por 0,44.
  • X a 36D.
  • 17C a X.
  • X a 44C.
  • Leer el número debajo de X: el número 932D.
  • Redondeo para colocar la coma decimal: sabemos que 30 : 15 son 2; 2 multiplicado por 0,5 (redondeo de 0,44) es 1, por lo que resultado es 0,932.
  • NOTA: rogamos al lector que compare el resultado de 0,937 obtenido con la regla de cálculo con el resultado de 0,9317 obtenido con una calculadora electrónica.

Ejemplo nº 2: Hallar el resultado de (36 x 0,77):17

  • Se trata de primero dividir 36 entre 17 y luego multiplicar por 0,77.
  • X a 36D.
  • 17C a X.
  • X a 77C. No se puede, porque 77C está fuera de la regleta móvil.
  • X a 1C.
  • 10C a X.
  • X a 77C.
  • Leer el número debajo de X: el número 1632D.
  • Redondeo para colocar la coma decimal: sabemos que 30 : 15 son 2; 2 multiplicado por 0,5 (redondeo de 0,44) es 1, por lo que resultado es 1,632.
  • NOTA: rogamos al lector que compare el resultado de 1,632 obtenido con la regla de cálculo con el resultado de 1,6305 obtenido con una calculadora electrónica.