LOS HOMBRECITOS DE LAS REGLAS DE CÁLCULO ACABARÁN POR HEREDAR EL MUNDO
"El vuelo del Fénix" (1965, Robert Aldrich)

LA ESCALA K. Los cubos de los números.            



LA ESCALA K. Los cubos de los números.

La escala K se emplea junto con la escala D para determinar el cubo de un número y su operación inversa, es decir, extraer la raiz cúbica de un número.

Normalmente la escala K está grabada en la parte superior de la regla, si bien existen modelos donde la escala K se halla grabada en otros sitios.



Regla de cálculo Blundel model nº 803. Obsérvese la escala K se halla en la parte superior de la regla.

La escala K consta de tres escalas situadas una a continuación de la otra que denominaremos K1, K2 y K3, siendo cada una de ellas iguales a la escala D reducida a su tercera parte. Esta reducción de tamaño hace que el número de divisiones secundarias y terciarias deba reducirse a su vez, como puede observarse en la fotografía anterior. Los valores de K1 van del 1 al 10, los valores de K2 van del 10 al 100, y los de K3 van del 100 al 1000.




CUBO DE UN NÚMERO.

El cubo de un número se obtiene de forma muy sencilla y mediante una sola operación: se selecciona el número en la escala D con el cursor, y se obtiene el resultado leyendo el cursor en la escala K:

  • X a número en D.
  • Resultado: se lee X en K.

Por ejemplo, para obtener el cubo del número 3, se lleva el cursor a 3D, y se lee el número 27 en K. Así de simple.

Justificación. El logaritmo de una potencia es igual al producto de su exponente por el logaritmo de su base:

    log 23 = 3 x log 2.

Esto nos indica que el segmento que representa log a3 en la escala D es el triple del segmento que representa log a en la misma escala D. Pero en la escala K, el segmento que representa log a3 es un tercio de longitud que su correspondiente en la escala D.

En efecto, en nuestro ejemplo comprobamos que el segmento que representa log 8 en la escala D es el triple del segmento que representa log 2. A su vez, la longitud del segmento log 8 en la escala K es un tercio que la longitud del segmento log 8 en la escala D e igual a la longitud del segmento log 2 en la escala D, de forma que si colocamos el cursor en los extremos derechos de ambos segmentos, la raya del cursor cae sobre 8 en la escala K y 2 en la escala D, indicándonos que 23 = 8.

    NOTA: Normalmente la escala A se encuentra grabada inmediatamente debajo de la escala K, por lo que en la misma operación puede hallarse el cuadrado y el cubo de un número. En nuestro ejemplo, tras haber colocado el cursor sobre 3 en D, leemos 9 en A y 27 en K, números corresponden ambos al cuadrado y cubo de 3 respectivamente. Muy simple.

Ejemplo núm. 1: Hallar el cubo de 40.

  • X a 4D.
  • Leer X en K: 64.
  • Redondeo: el cubo de 40 es el cubo de 4 multiplicado por el cubo de 10 (403 = 43 x 103
  • Resultado: 64.000

Ejemplo núm. 2: Hallar el cubo de 0,53.

  • X a 53D.
  • Leer X en K: 1495.
  • Redondeo: el cubo de 0,53 se aproxima a 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125.
  • Resultado: 0,1495.





RAÍZ CÚBICA DE UN NÚMERO.

Las escalas K y D permiten hallar también la raíz cúbica de un número mediante una sola lectura, dado que esta operación es la inversa de la elevación al cubo.

Como en la escala K hay tres subescalas (1-10, 10-100, 100-1000) queda el problema de saber sobre cuál de ellas hay que señalar el radicando para obtener la raiz cúbica. Para ello recordemos que:

  • Los índices izquierdos de K y D son 1 y 1 respectivamente, recordándonos que RAIZ 3 (1) = 1.
  • Los índices derechos de K y D son 1000 y 10 respectivamente, recordándonos que RAIZ 3 (1000) = 10.
  • Los índices medios izquierdos de K y D son 10 y 2,155 respectivamente, recordándonos que RAIZ 3 (10) = 2,155.
  • Los índices medios derechos de K y D son 100 y 4,64 respectivamente, recordándonos que RAIZ 3 (100) = 4,64.

De esto se desprende lo siguiente:

  • Para hallar la raíz cúbica de un número comprendido entre 1 y 10 hay que usar la escala K1.
  • Para hallar la raíz cúbica de un número comprendido entre 10 y 100 hay que usar la escala K2.
  • Para hallar la raíz cúbica de un número comprendido entre 100 y 1000 hay que usar la escala K3.

Para números naturales mayores de 1000 podemos razonar que si multiplicamos por 1000 los índices izquierdo, ambos medios y derecho de la escalas K y multiplicamos por 10 los índices de la escala D, obtenemos lo siguiente:

  • Los índices izquierdos de K y D son 1000 y 10 respectivamente, recordándonos que RAIZ 3 (1000) = 1.
  • Los índices derechos de K y D son 1.000.000 y 1000 respectivamente, recordándonos que RAIZ 3 (1.000.000) = 1000.
  • Los índices medios izquierdos de K y D son 10.000 y 21,55 respectivamente, recordándonos que RAIZ 3 (10.000) = 21,55.
  • Los índices medios derechos de K y D son 100.000 y 46,4 respectivamente, recordándonos que RAIZ 3 (100.000) = 46,4.

De esto se desprende lo siguiente:

  • Para hallar la raíz cúbica de un número comprendido entre 1000 y 10.000 hay que usar la escala K1.
  • Para hallar la raíz cúbica de un número comprendido entre 10.000 y 100.000 hay que usar la escala K2.
  • Para hallar la raíz cúbica de un número comprendido entre 100.000 y 1.000.000 hay que usar la escala K3.

Podría seguirse el mismo razonamiento para números mayores de un millón, pero es más conveniente emplear la regla práctica de dividir el numero entero dado en grupos de tres cifras a partir de la derecha y proceder como sigue:

  • Si el último grupo de la izquierda tiene una sola cifra, hay que usar la escala K1.
  • Si el último grupo de la izquierda tiene dos cifras, hay que usar la escala K2.
  • Si el último grupo de la izquierda tiene tres cifras, hay que usar la escala K3.

Si el número tiene parte decimal, se hace la separación de la parte entera en grupos de tres cifras de derecha a izquierda a partir de la coma decimal y se procede como se ha señalado anterioremente. Si la parte entera en cero, se divide la parte decimal en grupos de tres cifras de izquierda a derecha comenzando por la coma, y se emplea la reglilla K1, K2 o K3 en función de si el primero de los grupos contiene una, dos o tres cifras.

Ejemplo núm. 3: Hallar RAIZ 3 (8).

  • X a 8K.
  • Leer X en D: 2.
  • Resultado: 2.

Ejemplo núm. 4: Hallar RAIZ 3 (40).

  • Hay que usar la reglilla K2.
  • X a 40K.
  • Leer X en D: 342.
  • Resultado: 3,42.

Ejemplo núm. 5: Hallar RAIZ 3 (141).

  • Hay que usar la reglilla K3.
  • X a 141K.
  • Leer X en D: 521.
  • Resultado: 5,21

Ejemplo núm. 6: Hallar RAIZ 3 (2353).

  • División en grupos de 3: (2) y (353): hay que usar la reglilla K1.
  • X a 2,353K.
  • Leer X en D: 133.
  • Redondeo: el número 2353 está comprendido entre 1000 y 10.000, cuyas raíces cúbicas son 10 y 21,54 respectivamente, por lo que la raíz que buscamos debe estar comprendida entre estos dos últimos números.
  • Resultado: 13,3.

Ejemplo núm. 7: Hallar RAIZ 3 (0,1509).

  • División en grupos de 3: (150) y (9): hay que usar la reglilla K3.
  • X a 150,93K.
  • Leer X en D: 5325.
  • Resultado, por redondeo: 0,5325